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入試数学を自由に解く(京大理系2013年前期第4問)
注意事項

このカテゴリ「入試数学」は, 指導要領にとらわれず, 自由に入試数学を解いてみよう
というカテゴリです.
入試で使えるような補足も入れていくつもりです.
高校の課程の範囲で解いたほうが優しい,
そのまま解答として使ったら満点はもらえない可能性が高い,
などの欠点があります.
高校生の範囲で書ける答案は既に世の中に氾濫しているので, そちらを参照してください.

また, この記事の内容を利用したことによる弊害等に対する責任は一切負いません.
無断転載はもちろん禁止です.
間違いやご意見, このカテゴリで取り上げて欲しい問題等がありましたら教えてください.

このサイトの数式は, MathJaxを用いて表示しています.
携帯電話などでの閲覧で, LaTeXのソースの形で表示される場合は,
PCなどを用いてJava scriptをオンにして御覧ください.



さて, 本文です.

今回扱うのは京都大理系2013年度入試の第4問です.
単調性を意識してさっくりと解きましょう

問題(京都大理系2013年度入試第4問)


$-\pi / 2 \leq x \leq \pi / 2$における$\cos x + \sqrt{3}x^{2}/4$の最大値を求めよ.
ただし, $\pi > 3.1$および$\sqrt{3} > 1.7$が成り立つことは証明なしに用いてよい.

解答

$f(x) := \cos x + \sqrt{3}x^{2}/4$とする.
このとき, $f'(x) = -\sin x + \sqrt{3}x/2$である.

$-\pi / 2 \leq x \leq \pi / 2$において,
$\sin x$, $x$は狭義単調増加だから, $f'$の零点は$x=0$のみである.
そして,
$f'(-\pi/2) < 1 - 3.1 \times 1.7 / 4 < 0$
$f'(\pi/2) > -1 + 3.1 \times 1.7 / 4 > 0$
だから,
$x < 0$ならば$f'(x) < 0$, つまり$f$は狭義単調減少,
$x > 0$ならば$f'(x) > 0$, つまり$f$は狭義単調増加である.
よって, 最大値は$x= \pm \pi / 2$のとき
$f(\pm \pi / 2) = \sqrt{3}\pi^{2}/16$である.



解答終わり



簡単ですね.



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